집합 ··· 어떤 조건에 알맞은 대상이 명확하게 구별되는 모임

집합 기호

집합과 원소	∈(속한다), ∉(속하지 않는다)
집합과 집합	⊂(부분집합이다), ⊄(부분집합이 아니다), =(서로같다)

집합의 표현

원소나열법 ··· 집합에 속하는 모든 원소를 ｛ ｝안에 나열하는 방법, 중복되는 원소는 한 번만 씀

조건제시법 ··· 모든 원소들의 공통된 성질을 제시하는 방법

집합의 분류

유한(有限)집합 ···  원소의 개수가 유한개인 집합

무한(無限)집합 ···         〃     무한개인 집합

공(空)집합     ···         〃     0개인 집합 (유한집합에 속함)

부분집합

[eqn: A SUBSET B]  ··· 집합 A의 모든 원소가 집합 B에 속할 때, A를 B의 부분집합이라고 한다.

[eqn: A=B] ⇔ [eqn: A SUBSET B이고~B SUBSET A]

모든 집합은 자기 자신의 부분집합이다.

공집합은 모든 집합의 부분집합이다.

부분집합의 개수	[eqn: n(A)=p]일 때, A의 부분집합의 개수	[eqn: 2^p]

특정 원소 [eqn: l] 개를 반드시 포함하는 부분집합의 개수 [eqn: 2^p-l]

〃    [eqn: m] 개를 포함하지 않는      〃           [eqn: 2^p-m]

진부분집합의 부분집합의 개수	[eqn: 2^n -1]

집합의 연산

집합의 연산	정의	성질
교집합	[eqn: A CAP B =｛x｜x IN A ~그리고~x in B``｝]	[eqn: (A∩B)⊂A,~(A∩B)⊂B}``] [eqn: cases { A⊂B~이면~A∩B=A# B⊂A~이면~A∩B=B }``] [eqn: A∩ø=ø,~ A∩A=A]
합집합	[eqn: A CUP B =｛x｜x IN A ~또는~x in B``｝]	[eqn: &A⊂(A∪B),~B⊂(A∪B)#&(A∩B)⊂(A∪B)] [eqn: cases { A⊂B~이면~A∪B=B# B⊂A~이면~A∪B=A }``] [eqn: A∪ø=A,~ A∪A=A]
여집합	[eqn: A^c =｛x｜x in U ~그리고~ x not in A｝]	[eqn: &~ A∩A^c =ø,~A∪A^c =U #&~(A^c ) ^c =A# &~ ø^c =U, ~U^c = ø``]
차집합	[eqn: A-B =｛x｜x in A~그리고~x NOT in B ｝]	[eqn: ~A^c =U-A``] [eqn: A-B=A∩B^c &=(A cup B)-B #&=(A CUP B)-(A CAP B)``] [eqn: B-A=B∩A^c ``]

유한집합의 원소 개수  [eqn: n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)``]

기수법

진법	사용가능한 수	묶음 단위	십진법의 수로 전환	각 진법의 수로 나타내기
십진법의 수	0 ～ 9	10	·
오진법의 수	0 ～ 4	5	오진법의 전개식으로 고쳐 계산	5로 계속 나누어 4이하의 나머지가 나올 때까지 나누고 나머지를 역순으로 씀
이진법의 수	0 ～ 1	2	이진법의 전개식으로 고쳐 계산	2로 계속 나누어 1이하의 나머지가 나올 때까지 나누고 나머지를 역순으로 씀
오진법의 수↔이진법의 수
각진법을 십진법의 수로 바꾼 뒤 전환해야 함

약수와 배수

몫과 나머지 [eqn: A=BQ+R ~(단,~R<B)]

약수와 배수 [eqn: A=BC (A,B,C~:~자연수)]일 때  A는 B,C의 배수 , B,C는 A의 약수

여러 가지 수의 배수

2(5)의 배수 : 일의 자리의 수가 0 또는 2(5)의 배수인 수

3(9)의 배수 : 각 자리의 숫자의 합이 3(9)의 배수인 수.

4의 배수 : 끝에서 두 자리의 수가 00 또는 4의 배수인 수

소인수분해

소수 ··· 1과 그 자신만을 약수로 갖는 수

합성수 ··· 약수가 3개 이상인 자연수

※ 1은 소수도 합성수도 아니다.

소인수분해 ··· 소수들만의 곱으로 나타내는 것

약수의 개수 ··· [eqn: P=a^n times b^m]··· 일 때 [eqn: (n+1)times(m+1)] ··· 개 (단, a, b는 서로소)

최대공약수와 최소공배수

구분	뜻	성질
최대공약수	공약수 중 가장 큰 수	최대공약수의 약수 집합 = 공약수
최소공배수	공배수 중 가장 작은 수	최소공배수의 배수 집합 = 공배수

두 수를 [eqn: A,B``]라 하고 최소공배수를[eqn: L], 최대공약수를 [eqn: G]라 할 때

[eqn: G``]	[eqn: A~~~B``]
	[eqn: a] [eqn: b]

① [eqn: A=aG``]  ② [eqn: B=bG``]  ③ [eqn: A B = G L``]  ④ [eqn: abG = L``]

소수

[eqn: cases { 유한소수 ~~bold {(유리수)} # 무한소수 cases { 순환소수 ~~bold {(유리수)} # 순환하지~않는~무한소수 ~~bold {(무리수)} } }]

유한소수 판별법 ··· 기약분수의 분모가 2나 5만의 거듭제곱꼴인 수

나. 순환소수를 분수로 바꾸기

[eqn: 0. dot a = 0.aaaaa······· = a over 9]	[eqn: 0.dota dot b = 0.ababababab···· = ab over 99]

[eqn: 0.a dot b = 0.abbbb····· = ab-a over 90]	[eqn: 0. dot a b dotc =0.abcabcabc·····=abc over 999]

[eqn: 0.a dot b dot c = 0.abcbcbcbc····· = abc-a over 990]	[eqn: a. dot b c dot d = a.bcdbcdbcd··· = abcd-a over 999]

[eqn: a. b dot c dot d = a.bcdcdcd····· = abcd-ab over 990]

수(數)

[eqn: 실수(實數) cases{ 유리수cases{&양의 정수(자연수)#&0#&음의 정수}###~~유리수 :a,b(b not =0)가~정수일~때, a over b 로~나타내어지는 ~수 ##무리수~root2 , pi}}``]

근사값

참값 ··· 실제의 값	측정값 ··· 측정하여 얻은 값

근사값 ··· 참값에 가까운 값	오차 = 근사값 - 참값

오차의 한계 = [eqn: 1 over 2]×최소눈금

참값의 범위

근사값 - 오차의 한계 ≦ 참값 < 근사값 + 오차의 한계

유효숫자

반올림에 의해 처리되지 않은 수

- 덧셈, 뺄셈 : 유효숫자의 끝자리를 맞추어 계산

곱셈, 나눗셈 : 유효숫자의 개수를 맞추어 계산하고 결과도 개수를 맞춘다.

근사값의 표현 ··· [eqn: a times 10^n] 또는 [eqn: a times 1over10^n](단, 1≦a<10, n은 자연수)

제곱근

제곱근 ··· 어떤수 [eqn: a] 를 제곱해서 [eqn: a] 가 되는 수

[eqn: a ~LRARROW~ +roota (양의~제곱근),~-roota (음의~제곱근)]

a > 0 ··· 제곱근이 2개 존재

a < 0 ··· 제곱근이 없다

a = 0 ···· 1개 존재

제곱근의 성질

[eqn: a~＞~0] 일 때  [eqn: sqrt a^2 = sqrt {(-a)^2 } = a~,~~~ (sqrt a )^2 = (- sqrt a )^2 =a]

[eqn: sqrt a^2 = ⃒a⃒= cases { &a ~(a`≧`0 ~일~ 때) # -&a ~(a`＜`0 ~일~때) }]

제곱근의 대소[eqn: cases{& a~-~b~>~0 ~~~~⇔~~~~ a~>~b# & a~-~b=~0 ~~~~⇔~~~~ a=~b# & a~-~b~<~0 ~~~~⇔~~~~ a~<~b}]

근호를 포함한 식의 계산

제곱근의 성질

[eqn: sqrt a sqrt b = sqrt ab]      ㉡ [eqn: sqrt {a^2 b} = a sqrt b``]	㉢ [eqn: sqrt a over sqrt b = sqrt {a over b}]

분모의 유리화

[eqn: a over sqrt b = {a times sqrt b} over {sqrt b times sqrt b } = {a sqrt b} over b~ ~~(단~ b~>~0)]

제곱근의 덧셈과 뺄셈

[eqn: m sqrt a + n sqrt a = (m+n) sqrt a``]   ㉡ [eqn: m sqrt a - n sqrt a = (m-n) sqrt a``]

지수법칙

[eqn: a^m times a^n = a^m+n]    [eqn: (a^m )^n = a^mn]

[eqn: cases {&m~>~n~일~때 ~,~ a^m ÷ a^n = a ^m-n # &m~=n~일~때 ~,~ a^m ÷ a^n = 1# &m~<~n~일~때 ~,~ a^m ÷ a^n = 1 over {a ^m-n} }]

[eqn: (ab)^n = a^n b^n]      [eqn: left ( a over b right ) ^ n = a^n over b^n ~~~(b~≠~0)]

[eqn: a^0 = 1]             [eqn: a^-n = 1 over a^n ~~~~(a~≠~0)]

단항식(單項式)과 다항식(多項式)의 계산

계산 방법

계수는 계수끼리, 문자는 문자끼리 곱하여 계산

같은 문자의 곱은 거듭제곱의 지수를 써서 나타낸다.

다항식의 덧셈과 뺄셈 괄호를 풀고 동류항끼리 모아서 간단히 한다

※ 동류항(同類項) 문자와 차수가 같은 항

사칙 계산 : 괄호 -> 곱셈 · 나눗셈 -> 덧셈 · 뺄셈

곱셈공식

[eqn: (a+b)^2 = a^2 +2ab +b^2]	[eqn: (a-b)^2 =a^2 -2ab +b^2]

[eqn: (a+b)(a-b)=a^2 -b^2]	[eqn: (x+a)(x+b)=x^2 +(a+b)x +ab]

[eqn: (ax+b)(cx+d)=acx^2 +(ad +bc)x +bd]	[eqn: (a+b+c)^2 =a^2 +b^2 +c^2 +2a b+2bc +2ca]

곱셈공식의 이용

[eqn: (y-x)^2 = (x-y)^2]	[eqn: (-x-y)^2 = (x+y)^2]

[eqn: x^2 +y^2 = (x+y)^2 -2xy]	[eqn: x^2 +y^2 = (x-y)^2 +2xy]

[eqn: (x+y)^2 =(x-y)^2 +4xy]	[eqn: (x-y)^2 = (x+y)^2 -4xy]

복잡한 다항식의 전개

같은 식이 있을 때는 다른 한 문자로 치환한 뒤 곱셈공식 적용

동류항끼리 모아 간단히 한다

인수분해

뜻 ··· 다항식을 단항식의 곱의 꼴로 나타내는 것

인수분해 공식

[eqn: a^2 +2ab +b^2 = (a+b)^2]

[eqn: a^2 -2ab +b^2 = (a-b)^2]

[eqn: a^2 -b^2 = (a+b)(a-b)]

[eqn: x^2 +(a+b)x +ab = (x+a)(x+b)]

[eqn: acx^2 +(ad +bc)x +bd = (ax+b)(cx+d)]

복잡한 식의 인수분해

공통부분이 있으면 공통인수끼리 묶는다.

같은 다항식이 있으면 문자로 치환한다.

문자가 여러개 있을 때에는 한 문자에 관해 내림차순으로 정리.

일차방정식

방정식 미지수의 값에 따라 참 또는 거짓이 되는 식

항등식 미지수의 값에 상관없이 항상 참이 되는 식

[eqn: ax=b``] 의 꼴로 정리 ➡ 양변을 [eqn: a~(≠0)] 로 나눔 ➡ [eqn: x = b over a]

소수나 분수가 나올 경우 양변에 알맞은 수(분수는 최소공배수, 소수는 10의 거듭제곱) 로 곱해 정수로 고쳐서 계산한다.

해집합이 특별한 일차방정식

[eqn: bold {0․x = 0}]의 꼴  해집합은 수 전체의 집합

[eqn: bold {0․x=(0~이~아닌~ 수)의 ~꼴}] 해집합은 공집합

해집합이 특별한 연립방정식

[eqn: cases {bold { a`x ``+`b`y`=`c} # bold {a'x +b'x =c' }}] 일 때,

[eqn: bold {a=a',~b=b',~c=c'}]이면 해가 무수히 많음.

[eqn: bold {a=a',~b=b',~c≠c'}] 이면 해는 공집합.

응용문제 공식

물건의 가격 = 개당 가격 × 수량	거리 = 속력 × 시간

소금의 양 = 소금물의 양 × 농도	[eqn: x] 년 후의 나이 = 현재의 나이 + [eqn: x]

직사각형의 넓이 = 가로 × 세로	삼각형의 넓이 = [eqn: 1 over 2]× 밑변의 길이 × 높이

연립방정식

연립방정식의 풀이 : 가감법, 대입법, 등치법

[eqn: A=B=C] 꼴

[eqn: CASES{A=B#A=C}] , [eqn: CASES{A=B#B=C}] , [eqn: CASES{A=C#B=C}] 중 하나를 선택하여 푼다

부등식

부등식의 성질

[eqn: a<b`` 일~때~cases{&a+c<b+c #&a-c<b-c }]     [eqn: a<b ``일~ 때~cases{~c>0~:~ ac < bc,~{a over c} < {b over c} #{c<0~:~ ac>bc,~ {a over c} >{b over c}}}]

일차부등식의 풀이

계수가 분수, 소수 ⇒ 정수로

괄호가 있으면 괄호를 푼다

문자는 좌변, 상수는 우변으로 이항

양변을 간단히 하여 [eqn: ax>b,~ax≧b,~ax<b,~ax≦b`]의 꼴로 고친다

양변을 [eqn: x]의 계수로 나누고 만약 계수가 음수이면 부등호의 방향은 반대로 바꾼다

[eqn: A<B<C] 모양의 연립부등식 ··· [eqn: CASES{A<B#B<C}]의 모양으로 고쳐서 푼다

부등식의 응용 문제 풀이 방법

문제의 뜻을 정확히 파악하고, 구하고자 하는 것을 미지수 [eqn: x]로 놓는다

문제의 뜻에 알맞은 부등식을 세운다.

이 부등식을 푼다

문제의 뜻에 알맞은 답을 구한다

이차방정식 ([eqn: ax^2 +bx +c =0] )

인수분해가 되면 인수분해하여 구한다.

인수분해가 되지 않으면 완전제곱식이나 근의 공식을 사용한다.

근의 공식 [eqn: x= {-b ± sqrt {b^2 -4ac}} over 2a]

근의 개수

서로 다른 두 실근   ⇨ [eqn: b^2 -4ac ~＞~ 0]

한 개의 중근        ⇨ [eqn: b^2 -4ac ~=~ 0]

근이 없다.           ⇨ [eqn: b^2 -4ac ~＜~ 0]

근과 계수와 관계(두 근을 α, β 라 할 때)

α+β[eqn: = `- b over a]    αβ[eqn: = c over a]

일차함수

대칭인 점의 좌표 : 점 P([eqn: a,~b])가 주어졌을 때.

[eqn: x``]축에 대칭인 점의 좌표 ⇨ (  [eqn: a,~-b] )	[eqn: y``]축에 대칭인 점의 좌표 ⇨ ([eqn: -a,~~~b] )

원점에 대칭인 점의 좌표 ⇨ ([eqn: -a,~-b] )

기울기와 절편

기울기:[eqn: a][eqn: left ( = {y~값의`증가량} over {x~값의`증가량} right )``]	[eqn: x] 절편:[eqn: y=0]일 때 [eqn: x]의 값.	[eqn: y] 절편:[eqn: x=0]일 때 [eqn: y]의 값.

기울기가 같다 ⇔ 두 직선이 평행

[eqn: y=ax~~(a≠0)]

[eqn: a`＞`0] 일 때 오른쪽 위로 향하는 직선.	[eqn: a`＜`0] 일 때 오른쪽 아래로 향하는 직선.

원점( 0, 0 )을 지나는 직선.

[eqn: y=ax+b~~(a≠0)]

[eqn: y=ax~~(a≠0)]의 그래프를 [eqn: y``] 축의 방향으로 [eqn: b``] 만큼 평행이동시킨 직선.

[eqn: b`＞`0] 이면 [eqn: y``] 축의 양의 방향으로 [eqn: b] 만큼 평행이동.

[eqn: b`＜`0] 이면 [eqn: y``] 축의 음의 방향으로 [eqn: ⃒b⃒]만큼 평행이동.

[eqn: y= a over x ~~ (a≠0)]

원점에 대칭인 쌍곡선으로 나타남.	[eqn: a`＞`0] 일 때 제 1사분면과 제3사분면을 지난다.

[eqn: a`＜`0] 일 때 제2사분면과 제4사분면을 지난다.

직선의 방정식

기울기가 [eqn: a], [eqn: y``] 절편이 [eqn: b]일 때	[eqn: y=ax+b]
기울기가 [eqn: a], 점([eqn: m,~n])을 지날 때	[eqn: y-y_1 =a(x-x_1 )]
두 점([eqn: (x_1 , y_1 ) , (x_2 , y_2 )]을 지날 때	[eqn: y-y_1 = {y_2 - y_1 } over {x_2 - x_1 } (x-x_1 )]
[eqn: x]절편이 [eqn: a], [eqn: y``] 절편이 [eqn: b``] 일 때	[eqn: y= - b over a x +b]

이차함수

[eqn: y=ax^2 ~~(a≠0)]

꼭지점 ( 0, 0 )	축 [eqn: (`x=0`)]

[eqn: cases { a`＞`0 ~:~ 아래로`볼록# a`＜`0 ~:~ 위로`볼록 }]	절대값이 클수록 폭이 좁다.

[eqn: y=-ax^2]의 그래프와 [eqn: x] 축에 대칭

[eqn: y=ax^2 + q ~~(a≠0)]

[eqn: y=ax^2] 의 그래프를 [eqn: y] 축의 방향으로 [eqn: q] 만큼 평행이동.	축:[eqn: y~축~(x=0)], 꼭지점 : ( 0. [eqn: q] )

[eqn: y=a(x-p)^2 ~~(a≠0)]

[eqn: y=ax^2] 의 그래프를 [eqn: x] 축의 방향으로 [eqn: p] 만큼 평행이동.	축:[eqn: x=p], 꼭지점 : ( [eqn: p]. 0 )

[eqn: y=a(x-p)^2 +q ~~(a≠0)]

[eqn: y=ax^2] 의 그래프를 [eqn: x] 축의 방향으로 [eqn: p] 만큼 , [eqn: y] 축의 방향으로 [eqn: q] 만큼 평행이동.

축:[eqn: x=p], 꼭지점 : ( [eqn: p]. [eqn: q] )	[eqn: cases { a`＞`0~일때`, x=p`에서`최소값 # a`＜`0~일때`, x=p`에서`최대값 }]

[eqn: y=ax^2 +bx +c ~(a≠0)] 의 그래프에서 꼭지점의 [eqn: x] 좌표 [eqn: { - b over 2a }>0] ⇒ [eqn: bold {a,~b}``] 의 부호가 다르고,

[eqn: { - b over 2a }<0] ⇒[eqn: bold {a,~b}``] 의 부호가 같다.

이차함수의 활용

이차함수 [eqn: y=ax^2 +bx +c = a(x-p)^2 +q``] 에서

[eqn: a`＞`0] 면 [eqn: x=p``] 일 때 최소값 [eqn: q]	[eqn: a`＜`0] 면 [eqn: x=p``] 일 때 최대값 [eqn: q]

이차방정식 [eqn: ax^2 +bx +c =0``] 의 근

서로 다른 두 실근   ⇨ 두점에서 만난다.

한 개의 중근        ⇨ 한 점에서 만난다.

근이 없다.           ⇨ 만나지 않는다.

이차함수의 결정

꼭지점 ([eqn: p,~ q``]) 가 주어질 때	[eqn: y=a(x-p)^2 +q``] 에 대입
[eqn: x``] 축과의 교점 [eqn: (m,~0)``],[eqn: (n,~0)``]이 주어질 때	[eqn: y=a(x-m)(x-n)``] 에 대입
그래프 위의 3점	[eqn: y=ax^2 +bx +c``] 에 대입

확률[eqn: (P`)] [eqn: =][eqn: {어떤~사건이~일어날~수~있는~경우의~수} over {일어날~수~있는~모든~경우의~수}]

경우의 수 어떤 사건이 일어날 수 있는 방법의 수

합의 법칙 [eqn: m+n] → ‘또는’, ‘～이거나’의 개념일 때 적용

곱의 법칙 [eqn: m times n] → ‘동시에’, ‘～이어서’, ‘～이고’, ‘그리고’, ‘～이고’의 개념일 때 적용

수형도 면이 없는 선형도형으로 나뭇가지 모양의 그림을 활용하여 경우의 수를 구함

확률의 성질

[eqn: 0 `≦`P`≦`1]

[eqn: P=0] 확률이 절대로 일어나지 않을 사건의 확률.   [eqn: P=1] 반드시 일어나는 사건의 확률.

확률의 계산

확률의 덧셈 “또는” -> 각각의 확률을 더한다

확률의 곱셈 “동시에 일어날 확률” -> 각각의 확률을 곱한다

여사건의 확률 『적어도 ～』의 개념이 나올 때 적용

[eqn: A``]가 일어나지 않을 확률 [eqn: q=1-p``]

기대값 = 상금 × 확률

자료의 정리

도수분포표

변량 ····· 자료를 수량으로 나타낸 것	계급 ····· 변량을 나눈 구간

계급의 크기 ····· 구간의 나비	도수 ····· 각 계급에 속하는 자료의 수

계급값 ····· 계급 중앙의 값

도수분포 그래프

히스토그램 ····· 가로축에 계급, 세로축에 도수를 잡고, 각 계급의 크기를 가로로, 도수를 세로로

하는 직사각형으로 나타낸 그래프

도수분포다각형 ····· 히스토그램에서 각 직사각형의 윗변의 중점을 차례로 이은 선분의 그래프

상대도수[eqn: =][eqn: 그~계급의~도수 over 도수의~합]

상대도수의 총합 : 1	그 계급의 도수 = 상대도수 × 도수의 합,

도수의 합 = [eqn: {그~ 계급의 ~도수} over { 상대도수 }]

누적도수[eqn: =] 각각의 계급까지의 합

처음 계급의 누적도수 = 그 계급의 누적도수	마지막 계급의 누적도수 = 도수의 총합

누적도수 분포다각형 ····· 점을 잡을 때 윗변의 오른쪽 점을 설정한다

자료의 비교

가평균 : 임의의 평균으로 자료가 가장 많은 계급 또는 자료들 중 중앙에 해당하는 값을 선정

과부족 = 각 계급값 - 가평균

평균=[eqn: 가평균 + {(계급값~ -~가평균)의~총합 } over {도수의~총합}]	편차= 각 변량[eqn: -]평균

분산([eqn: S^2 )][eqn: =][eqn: {(편차)^2 times 도수의~총합 } over {도수의~총합}]	표준편차([eqn: S])[eqn: =][eqn: sqrt S^2] (분산의 양의 제곱근)

표준편차를 구하는 순서

가평균 ⇨ 과부족의 평균  ⇨ 평균 ⇨ 편차 ⇨ {[eqn: (편차)^2 times 도수] }의 총합 ⇨ 도수의 총합으로 나눈다(분산)

⇨ 양의 제곱근(표준편차)

산포도  ····· 변량들이 흩어져 있는 정도를 하나의 수로 나타낸 값

상관관계

상관관계 두 변량의 값 사이에서 변량의 관계로 그 종류는 다음 5가지가 있다

강한 양의 상관관계    약한 양의 상관관계   강한 음의 상관관계   약한 음의 상관관계

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

상관관계가 없는 경우

직선, 선분, 반직선

A

B

선분 AB : [eqn: BAR AB]	반직선 AB : [eqn: vec AB]      직선 AB : [eqn: dyad {AB~}]

동위각과 엇각 ··· 두 직선이 평행 ⇔ 동위각과 엇각의 크기가 각각 같다

삼각형의 결정조건

세 변의 길이가 주어질 때 ( 다른 두 변의 차 < 임의의 한 변 < 다른 두 변의 합 )

두 변의 길이와 그 끼인각의 크기가 주어질 때

한 변의 길이와 그 양끝각이 주어질 때

삼각형의 합동조건

세 대응변의 길이가 각각 같을 때 ( SSS 합동 )

두 대응변의 길이가 각각 같고, 그 끼인각의 크기가 각각 같을 때 ( SAS 합동 )

한 대응변의 길이가 각각 같고, 그 양 끝각의 크기가 각각 같을 때 ( ASA 합동 )

※ 합동 성질 ····· 대응변의 길이와 대응각의 크기가 각각 같다.

[eqn: cf)] 직각삼각형의 합동 ····· ① 빗변의 길이와 한 예각의 크기가 각각 같다 (RHA 합동)

② 빗변의 길이와 한 변의 길이가 각각 같다 (RHS 합동)

S : 변,  A : 각,  H : 빗변의 길이,  R : 직각

삼각형의 성질

두 변의 길이의 차 < 다른 한 변의 길이 < 두 변의 길이의 합

세 내각의 합 = 180°

삼각형의 한 외각의 크기는 그와 이웃하지 않는 두 내각의 크기의 합과 같다.

다각형의 내각과 외각

[eqn: n] 각형의 내각의 크기의 합 = [eqn: 180 DEG TIMES (n-2)]	[eqn: n] 각형의 외각의 크기의 합 = [eqn: 360 DEG]

[eqn: n] 각형의 대각선의 총수 = [eqn: {n(n-3)} over 2]	한 꼭지점에서 그을 수 있는 대각선의 수 = [eqn: n-3]

정다면체

정다각형 : 모든 변의 길이와 모든 내각의 크기가 같은 다각형

정다면체 : 모든 면이 합동이고 모든 꼭지점에 모이는 면의 개수가 같은 다면체

정 다 면 체	정사면체	정육면체	정팔면체	정십이면체	정이십면체
면의 모양	정삼각형	정사각형	정삼각형	정오각형	정삼각형
한 꼭지점에 모이는 면의 개수	3	3	4	3	5

위치 관계

평면의 결정 조건

한 직선 위에 있지 않은 세 점	만나는 두 직선

한 직선과 그 직선 밖의 한 점	평행한 두 직선

두 직선의 위치 관계

한 점에서 만난다

일치한다	한 평면 위에 있다

평행하다

꼬인 위치에 있다         한 평면 위에 있지 않다

( 꼬인위치 : 공간상에서 만나지도 평행하지도 않은 위치 관계 )

직선과 평면의 위치 관계

직선이 평면에 포함된다	한 점에서 만난다	만나지 않는다 ( 평행 )

두 평면의 위치 관계

만난다 ( 교선이 생김 )	일치	만나지 않는다 ( 평행 )

입체도형의 겉넓이와 부피

입체도형	겉넓이	부피
기둥	2×밑넓이＋옆넓이	2×밑넓이×높이
뿔	밑넓이＋옆넓이	[eqn: 1 over 3]×밑넓이×높이
구	[eqn: 4 pi r^2]	[eqn: 4 over 3 pi r^3]

※ 삼각형의 넓이 = [eqn: 1 over 2 times 밑넓이 times 높이]	사각형의 넓이 = 가로 × 세로	원의 넓이 = [eqn: pi r^2]

부채꼴의 넓이 = [eqn: pi r^2 times {중심각의~크기 over 360DEG} = 1 OVER 2 r l] ( 호의 길이 [eqn: l=2 pi r times {중심각의~크기 over 360DEG}] )

연결상태가 같은 도형

연결상태가 같은 도형 - 잘라내거나 오려 붙이지 않고 한 도형을 늘이거나 줄이거나 구부려도 처음

도형과 같은 도형

단일폐곡선 - 연결상태가 원과 같은 도형

한붓그리기 - 연필을 떼지 않고 어느 선도 한 번만 지나도록 그리는 것

조건 : 홀수점이 0개 (시작점 = 끝점),  2개 (시작점 [eqn: NOT =] 끝점)

꼭지점, 모서리, 면의 개수

연 결 상 태	공 식
수형도	[eqn: v-e=1]
꼭지점과 변으로 이루어진 도형	[eqn: v-e+f=1]
연결상태가 구와 같은 도형	[eqn: v-e+f=2(오일러의~공식)]
연결상태가 튜브와 같은 도형	[eqn: v-e+f=0]
한 꼭지점 또는 한 모서리를 공유하는 도형	[eqn: v-e+f=3]

( [eqn: v] : 꼭지점의 개수, [eqn: e] : 모서리의 개수, [eqn: f] : 면의 개수 )

명제 ····· 참, 거짓을 판별할 수 있는 문장이나 식

구성 [eqn: p이면 ~q이다] ⇔ [eqn: p]  → [eqn: q] ([eqn: p]:가정, [eqn: q]:결론)	역 [eqn: q] → [eqn: p]

삼각형의 오심(五心)

오 심	작도방법	성 질
외심	세 변의 수직이등분선의 교점	세 꼭지점에 이르는 거리가 같다
내심	세 내각의 이등분선의 교점	세 변에 이르는 거리가 같다
무게중심	세 중선의 교점	꼭지점으로부터 2:1의 비로 나누어 진다
방심	한 내각과 나머지 두 각의 외각의 이등분선의 교점	한 삼각형에 3개의 방심이 존재
수심	각 꼭지점에서 내린 수선의 교점

이등변삼각형의 정의 ····· 두 변의 길이가 같은 삼각형

성질 ····· 두 밑각의 크기가 같고, 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분한다

평행사변형

정의 ····· 두 쌍의 대변이 평행한 사각형

성질   ① 두 쌍의 대변의 길이는 각각 같다.

② 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같다.

③ 두 대각선은 서로 다른 것을 이등분한다.

조건	① 두 쌍의 대변이 평행	② 두 쌍의 대변의 길이가 같다

③ 두 쌍의 대각의 크기가 같다	④ 두 대각선은 서로 다른 것을 이등분한다

⑤ 한 쌍의 대변이 평행하고, 그 길이가 같다.

여러 가지 사각형

大

小

사각형 ····· 각이 4개인 도형

사다리꼴 ····· 한 쌍의 대변이 평행한 사각형

평행사변형 ····· 두 쌍의 대변이 평행한 사각형

직사각형 ····· 4각의 크기가 같은	마름모 ····· 네 변의 길이가 같은 사각형

사각형

정사각형 ····· 네 변의 길이가 같고, 네 각의

크기가 같은 사각형

닮음

평면도형에서의 닮음

대응변의 길이의 비가 일정하다	대응각의 크기가 같다

닮음비 ····· 두 닮은도형에서 대응변의 길이의 비

입체도형에서의 닮음의 성질

대응면이 닮은도형이다	대응하는 선분의 길이의 비가 일정하다.

삼각형의 닮음

삼각형의 닮음 조건

SSS	SAS	AA

삼각형과 비

A

B

C

D

E

A

B

C

D

E

[eqn: BAR DE // BAR BC ~LRARROW~ CASES{&BAR AD ~:~ BAR AB = BAR AE~ :~ BAR AC ##& BAR AD ~:~ BAR DB = BAR AE~ :~ BAR EC}]

평행선과 선분의 비

a

b

c

l

l`

A

B

C

A`

B`

C`

[eqn: BAR AB ~:~BAR BC =BAR {A prime B prime} ~:~ bar{B prime C prime}##BAR AB ~:~BAR {A prime B prime} =BAR BC ~:~ bar{B prime C prime}]

삼각형의 중점연결정리

A

B

C

D

E

[eqn: BAR MN ~//~BAR BC ,~BARMN ~={1 OVER 2} BAR BC]

사다리꼴의 중점연결정리

A

B

C

D

M

N

[eqn: BAR{AD~} ~//~ BAR{BC~}이고,~M,~N 이 ~각각~ BAR{A B~},~BAR{DC~}의~중점]이면

[eqn: BAR MN ~//~ BAR AD ~//~ BAR BC ,~~BAR {MN~} = {1 OVER 2}(BAR AD + BAR BC )]

삼각형의 무게중심

A

B

C

D

E

F

G

① [eqn: BAR AG ~:~ BAR GD = BAR BG ~:~ BAR {G E} = BAR CG ~:~ BAR GF = 2 ~:~ 1]

② [eqn: TRIANGLE A BG = TRIANGLE BCG = TRIANGLE ACG = {1 OVER 3 } TRIANGLE A BC]

[eqn: TRIANGLE AFG = TRIANGLE F BG = TRIANGLE BDG = TRIANGLE DCG = TRIANGLE CEG = TRIANGLE EAG = {1 OVER 6} TRIANGLE A BC]

닮은도형의 닮음비와 넓이비와 부피비

닮음비 [eqn: m ~:~ n]  ⇒  넓이비 [eqn: m^2 ~:~ n^2]  ⇒  부피비 [eqn: m^3 ~:~ n^3]

피타고라스의 정리

A

B

C

c

b

a

직각삼각형에서 직각을 낀 두 변을 [eqn: a,~b]

빗변의 길이가 [eqn: c] 이면

⇔ [eqn: c^2 = a^2 + b^2]

( ⇒ 피타고라스의 정리,  [eqn: LARROW] 피타고라스의 역 )

삼각형의 길이와 각의 크기 사이의 관계

[eqn: c^2 ~ <~ a^2 +b^2]  ⇔ 예각 삼각형	[eqn: c^2 ~ =~ a^2 +b^2] ⇔ 직각 삼각형

[eqn: c^2 ~ >~ a^2 +b^2]  ⇔ 둔각 삼각형

좌표평면 위의 두 점 사이의 거리

두 점 [eqn: A(x_1 ,y_1 ),~B(x_2 ,y_2 )]사이의 거리 [eqn: bar AB = ROOT { (x_2 - x_1 )^2 + (y_2 -y_1 )^2 }]

대각선의 길이

정사각형의 대각선의 길이	(한 변의 길이 [eqn: a] )	[eqn: l=root {a^2 +a^2 }=root2 a]

직사각형의      〃	(가로 [eqn: a], 세로 [eqn: b] )	[eqn: l=root{a^2 +b^2 }]

직육면체의      〃	(가로[eqn: a], 세로[eqn: b], 높이[eqn: c])	[eqn: l=root{a^2 +b^2 +c^2 }]

직육면체의      〃	(한 변의 길이 [eqn: a] )	[eqn: l=root{a^2 +a^2 +a^2 }=root3 a]

정삼각형의 높이와 넓이	(한 변의 길이 [eqn: a] )	[eqn: h=root3 over2 a ,~S= root3 over 4 a^2]

정사면체의 높이와 부피	(한변의 길이[eqn: a], 높이[eqn: h])	[eqn: h=root6 over3 a ,~V=root2 over12 a^3]

원뿔의 높이와 부피(모선[eqn: l], 높이[eqn: h], 밑면의 반지름[eqn: r]) [eqn: h=root{l^2 -r^2 },~S= 1over3 pi r^2 h]

중심각과 호

원, 중심, 반지름, 활꼴, 부채꼴

중심

원

●

A

B

현AB

활꼴

중심각

부채꼴

반지름

중심각의 크기와 호의길이와 부채꼴의 넓이 ··· 비례

※ 중심각의 크기와 현의 길이는 비례하지 않는다.

원과 현

원의 중심에서 현에 대한 수선은 현을 이등분한다

현의 수직이등분선은 원의 중심을 지난다

한 원 또는 합동인 두 원에서 중심에서 같은 거리에 있는 현의 길이는 같다

원과 접선

원의 접선은 그 접점을 지나는 반지름에 수직이다.

원의 외부의 한 점에서 그은 2 개의 접선의 길이는 같다.

두 원의 위치 관계와 공통 접선

위 치 관 계	중심거리와 반지름	공통외접선의 개수	공통내접선의 개수
한 원이 다른 원의 외부에 있는 경우	[eqn: d>r+r prime]	2	2
외접하는 경우	[eqn: d=r+r prime]	2	1
두 점에서 만나는 경우	[eqn: r-r prime<d<r+r prime]	2	×
내접하는 경우	[eqn: d=r-r prime]	1	×
포함되는 경우	[eqn: d<r-r prime]	×	×

공통접선의 길이

( 중심간의 거리 [eqn: d~], 큰 원의 반지름 [eqn: r~], 작은 원의 반지름 [eqn: r prime~])

공통내접선의 길이 [eqn: l=root{d^2 - (r+r prime)^2 }]

공통외접선의 길이 [eqn: l=root{d^2 - (r-r prime)^2 }]

원주각

원주각 =[eqn: 1 over 2]×중심각

한 원에서 같은 길이의 호에 대한 원주각의 크기는 같다

반 원의 원주각 = 90°

원과 사각형

내대각

외각

대각의 크기의 합 ··· 180°

한 외각의 크기는 그 내대각의 크기와 같다

접선과 현이 이루는 각

원의 접선과 그 접점을 지나는 현이 이루는

▲

▲

◎

◎

각의 크기는 그 각 내부에 있는 호에 대한

원주각의 크기와 같다.

원에서의 비례 관계

[eqn: bar PA TIMES BAR PB = BAR PC TIMES BAR PD]

A

B

C

D

P

A

B

C

D

P

[eqn: BAR PA TIMES BAR PB = BAR {PC}^2] 또는 [eqn: BAR PA TIMES BAR PB = BAR{PD}^2]

A

B

C

D

P

[eqn: BAR PA TIMES BAR PB = r^2 - BAR{OP}^2]	[eqn: BAR PA TIMES BAR PB = BAR{OP}^2 -r^2]

A

B

C

D

P

r

A

B

C

D

P

r

P

T

A

B

원의 외부의 한 점에서의 할선과 접선

[eqn: BAR{PT}^2 =BAR PA TIMES BAR PB]

비례 관계의 활용

공통현(공통접선) [eqn: bar PA TIMES BAR PB = BAR PC TIMES BAR PD]

A

B

P

C

D

P

A

C

D

B

삼각비의 뜻

a

b

c

A

C

B

대변

빗변

밑변

삼각비의 정의

[eqn: sinA = {BAR BC } OVER {BAR AC} = 대변 over 빗변 = a OVER b]

[eqn: cosA ={BAR AB } OVER {BAR AC} = 밑변 over 빗변 = c over b]

[eqn: tanA={BAR BC} OVER {BAR AB } = 대변 OVER 밑변 = a over c]

특수한 각의 삼각비

각 삼각비	0°	30°	45°	60°	90°
sin A	0	[eqn: 1 over 2]	[eqn: root 2 over2](=[eqn: 1 over root2])	[eqn: root 3 over2]	1
cos A	0	[eqn: root 3 over2]	[eqn: root 2 over2](=[eqn: 1 over root2])	[eqn: 1 over 2]	0
tan A	0	[eqn: root3 over3](=[eqn: 1 over root3])	1	[eqn: root3]	없다(∞)

60°

30°

1

[eqn: root3]

2

45°

45°

1

1

[eqn: root2]

삼각비 사이의 관계

[eqn: sin A = cos](90°- A)	[eqn: cos A=sin](90°- A)	[eqn: tan A = 1 OVER {tan(90 DEG -A)}]

세 삼각비 사이의 관계

[eqn: tan A= {sin A} OVER {cos A}]	[eqn: tan^2 A + 1 = 1 OVER {cos^2 A}]	[eqn: sin^2 A + cos^2 A =1]

삼각비의 활용

직각삼각형의 변의 길이

[eqn: &c=root{a^2 +b^2}##&a=csinA=ccosB=btanA##&b=csinB=ccosA=atanB]

A

B

C

c

a

b

일반삼각형의 변의 길이

두 변의 길이와 그 끼인각을 알 때

B

C

A

H

b

a

c

h

[eqn: h=bsin A, ~~BAR AH~ =bcos A]를 이용하여

[eqn: barBH~]를 구한 다음 피타고라스의 정리 이용

b

c

a

C

H

G

A

한 변의 길이와 그 양 끝각을 알 때

[eqn: b={bar AH~}OVER sinC = csinB OVER sinC ,~~a= {barBG~}OVER sinC = csinA OVER sinC]

둔각삼각형에서 밑변의 길이와 [eqn: ANGLE A], [eqn: ANGLE CBH]의 크기를 알 때

A

B

H

C

x

y

c

h

[eqn: h = c over {tan(90 DEG -x)-tan(90 DEG -y)}]

도형의 넓이

삼각형의 넓이

[eqn: ANGLE B] 가 예각인 경우 [eqn: S= 1over2 acsin B]

[eqn: ANGLE B] 가 둔각인 경우 [eqn: S= 1over2 acsin (180 DEG -B)]

평행사변형의 넓이

A

B

C

D

a

b

[eqn: S=absinx]

[eqn: x]

사각형의 넓이	사다리꼴의 넓이

[eqn: S={1over2}absinx]	[eqn: S={1over2}a(b+c)sinx]

a

b

c

[eqn: x]

[eqn: absinx]

[eqn: x]

a

b